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株の値動き、標準偏差と正規分布について考える 

さてさて、記録的スピードでの下落が続く今日この頃。過去の統計データなんてあてにならないと言われるなかで、あえて標準偏差と正規分布について考えてみたいと思います。

1日に5%や10%平気で値動きする最近の相場を見ていると、株の値動きは正規分布とかけ離れている、むしろベキ分布に近いと感じられている人が多いと思います。私も日足だとそう思います。しかし年足(年単位)で見ると正規分布の方に近いんじゃないかと思います。
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今日2008年10月27日のTOPIXは746.46。1年前2008年10月29日(27日は土曜)のTOPIXは1606.49でした。騰落率は-53.5%です。標準偏差についてはどの期間で計算したかによって違ってきますが、野村證券金融経済研究所が2005年6月にまとめたデータによると、日本株は期待リターンが4%・標準偏差が20%です。これで計算すると、今回の下落は-2.97σ。ほぼ-3σの下落になります。
完全な正規分布の場合、-3σから3σの範囲に収まる確率は99.7%、それを超える確率は0.3%となります。1000分の3。という事は、今回の下落は100年に1度もない1000年に3度レベルの下落だったいう事でしょうか? ※100年に1度という話をするならば、毎年一回特定の日(その年の終値や4月1日など)だけで調べないとならないと思いますが、それは置いておきます。

文部科学省のHPで、年齢別(5~17歳)男女別、身長・体重・座高の統計データが載っています。
これ(01-006)によると、17歳女子の体重の平均値は53.5kg、標準偏差は8.41です。※いろいろデータが有る中で17歳女子の体重を選んだのには深い意味はありません。
標準偏差が8.41ですので、3σは約25です。-3σで28.5kg、+3σで78.5kgになります。正確な正規分布の場合、この28.5kg~78.5kgに収まる確率は99.7%で、-3σと3σの確率は等しくなります。
では実際のところはどうなのでしょうか。実際の分布(03-002)を見てみましょう。これによると17歳女子で体重が28.5kg以下は0%、体重が78.5kg以上は1.5%です。0.3%よりはだいぶ大きな数字になります。
物理的に体重が0kg以下というのは有りえませんが、体重が100kg以上というのは有りえます。なので体重の分布の場合、左右対称の正確な正規分布とはなりません。
しかし全体の分布を見ると平均値付近に分布が密集し端にいくほど分布は少なくなり、正規分布に近いです。グラフにしてみても正規分布の様な形になると思います。

さて、株の話に戻ります。最初に書いた様に私は株の年単位での動きは正規分布に近いんじゃないかと思っています。しかし、正確な正規分布ではない。日足や週足で見るよりは、年足の方がずっと正規分布に近い形になるが、極端にいく確率は正確な正規分布よりは大きい。3σを超える確率は0.3%より高いと思われる。
また、正確な正規分布であれば平均値からは左右対称になります。しかし20%の上昇と20%の下落は、同じなのか?という記事でも書きましたが、+1%と-1%、あるいは+10%と-10%なら同じ様なものと言えると思いますが、+80%(株価が1年で1.8倍になる)と-80%(株価が1年で1/5になる)の確率は同じ様なものとは言えないと思います。

では「株(インデックス投資)において、標準偏差の考え方は役に立たないのか?」

そんな事はないと思います。
野村證券金融経済研究所が2005年6月にまとめたデータと、ここ1年間(2007/10/24~2008/10/24)の投信の値動きを表にしました。新興諸国株ファンドで1年以上の運用実績のものがなかったのでHSBC BRICsオープン、その他は中央三井インデックスファンドシリーズの数字(分配金考慮せず)です。

  標準偏差  リターン  この1年間
のリターン
 
国内債券  4% 2% 1.2% -0.2σ
国内株  20% 4% -47.8% -2.6σ
海外債券 11% 4% -17.6% -2.0σ
海外株  18% 8% -52.8% -3.4σ
新興諸国株 24% 12% -66.1% -3.3σ


これを見ると、国内債券以外は-2σを超える大きな下落だった事が分かります。また、この1年の値動きを見てみると、新興諸国株が一番変動が大きく、次に海外株と国内株が同程度、海外債券、国内債券の順となっています。これは標準偏差の関係とほぼ一致します。つまり、「標準偏差が大きいほど実際のリターンのブレも大きくなる傾向が有る」と言えそうです。

まとめ
株価の変動を1日単位・週単位で見ると、その分布は正規分布というよりはベキ分布に近くなる。
株価の変動を年単位で見ると、その分布は正規分布に近くなる。ただし、正確な正規分布ではない。
少し歪んだ正規分布となるので、そこから正確なリターン確率を導きだす事はできない(目安にはなるでしょう)。極端にいく確率は正確な正規分布よりも高そう。
投資対象のブレの大きさのおおまかな傾向を掴むには標準偏差は有効である。

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コメント

こんにちは

ミクロとマクロをみると、そういうものかもしれませんね。
ただ、INDEX投資については、いろいろと考えさせられます。
1)大局観について
http://blog.livedoor.jp/asset_station/
2)分散効果について
http://www.daiwa-fc.co.jp/report/NL0809-4.pdf
など。
もちろん正解はありませんが、過去のデータから未来が予測できるとも限らず。

それにしても、あっさり3σを越えるとは思いませんでした・・・・。

それよりもこの数字を見て驚いたのが、海外債券が大きく動いていたのにはビックリです・・・・。

為替とは上手くつき合って行きたいモノですね・・・。

ありがとうございます

モンチです、記事のご紹介ありがとうございます。

暴落時のリスク管理として過去の株価から標準偏差を求めているのに、実際に暴落が起こると正規分布から外れて使えないというのは、意外な盲点ですよね(汗)。 今回の経験で、「計算より少しマージンをもってリスク設定しないとダメだ」と学習しました。

皆さんコメントありがとうございます!

すみパパさん
大局観については、私は大局観と決断力が不足してましたね。全部売ったりするつもりはないですけど、もう少しリスクを落としておくべきでした。
今回書いた事に加えて、分散効果・相関関数に関しても記事にしたいなと思ってました。大和のレポートは参考になりました。ありがとうございます。

かえるさん
-3σをあっさり超えるとは1年前には私も思ってなかったです。
ここ1ヶ月の為替の変動(ヨーロッパ・オセアニア・新興国通貨)は、株並みの変動してましたからね。為替リスクという言葉の意味を実感しました。

モンチさん
そうですね。「計算より少しマージンをもってリスク設定しないとダメだ」は私も同感です。
「行き過ぎるのが相場」を実感しました。

こんばんは

REIT関係でブックマークしているサイト
http://plaza.rakuten.co.jp/2888project/
に、リスクマネー比率の話が載っていました。
こういう状況では、リスクマネー比率がどのくらいかが、最大損失率に大きく効いてきますね。

すみパパさん こんばんは。
記事、とても参考になりました。確かに今はリスクマネーは何でも下がっている状態なので、何のリスクマネーを買うかよりも、リスクマネーにいくら使うかというところが、効いてきそうですね。

勉強になりました

お久しぶりです。
騰落率がそのまま標準偏差で考えるとはどうもしっくりこないのですが、でもそうなんですね。勉強になりました。
と言うのも騰落率と言うのは前日の値に引っ張られた連続性のあるデータなので「対応のあるデータの差の検定」などが手法としてしっくりくる気がしまして。それと標準偏差は母集団が異なる気もするんです。
いや、これは素人考えですから、やっぱり投資のプロの言うことが間違いないんでしょう。

最近、ブログに力を入れ始めましたので、よろしくお願いします。
では、また遊びに来ますね。

ゆうちゃんパパさん お久しぶりです!ブログ再開されたんですね。おじゃまさせていただきま~す。

記事にも書きましたが、
毎日の値動き(騰落率)は正規分布で無いと、私も思いますよ。
年単位の値動きの場合も、完全な正規分布ではないので、完全な正規分布として扱うのは多少無理が有る。目安として使うのが良いんじゃないかなというのが今の私の考えです。

念の為、モーニングスターの標準偏差の説明もリンクしておきます。
http://www.morningstar.co.jp/lecture/lesson/ed9_2.htm

でも、標準偏差を使って見ないと駄目というものではないし、いろいろな分析の仕方が有ると思いますので、自分にとってしっくりくるやり方でやるっていうのが大事だと思いますよ。

ってなんか偉そうにすみません(笑)

ありがとうございます

リンク先見てよく分かりました。
あとはこの場合の母集団が何かどうかだけなんですが、それはあんまり関係ないのかもしれませんね。

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