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ファットテール~NYダウ年騰落率の分布 

前回、NYダウ月足(月間騰落率)の分布を見たのに続いて、
今回は、NYダウ年足(年間騰落率)の分布を見ていきましょう。1929年~2008年の80年分のデータです。(2008年はまだ終わってませんが、12/25時点の数字で計算しました。)

下表を左から説明。騰落率は、年の騰落率で5%刻みです。ちなみに5は0~+5%の範囲、10は+5~+10%の範囲、-5は-10~-5%の範囲を表します。
実分布は、実際のダウの騰落率がその範囲に入った年数です。
正規分布は、80年分の正規分布だと仮定した場合、その範囲に入る年数です。今回のNYダウの年足データでは、平均が+6.2%、標準偏差が19.9% でした。
実分布率と、正規分布率は、実数を割合に直したものです。
実分布率と正規分布率の累計は、分布率を累計した数字です。例えば実分布率累計の-10のところが20%なのは、騰落率が-10%以下だった月が合計10%有ったという意味です。正規分布累計も同様です。

平均が+6.2ですので、正規分布グラフのピークは+6.2でそこから左右対称となります。当然一番のピーク(最頻値)は+5~+10%の範囲となります。
それに対して、実分布で一番多かったのは、10年が入った+10~+15%の範囲でした。
次にプラスの年とマイナスの年の割合はどの位なのか。正規分布なら80年中50年(62.2%)がプラスで、30年(30.2%)がマイナスとなります。実際の分布は、プラスの年が52年(65.0%)で、マイナスの年が28年(35.0%)でした。ほぼ一緒かな。
平均の6.2%を、上回った年は41年、下回った年は39年でほぼ拮抗しています。正規分布なら、左右対称ですので40年・40年となります。

+1σにあたる+26.1%を超える確率は、正規分布が16.1%なのに対して実分布は12.7%(10年)。
+2σにあたる+46.0%を超える確率は、正規分布が2.4%なのに対して実分布は1.3%(1年)
-1σにあたる-13.7%よりも大きな下落の確率は、正規分布が16.1%なのに対して実分布が16.3%(13年)。
-2σにあたる-33.7%を超える下落の確率は、正規分布が2.4%なのに対して、実分布は3.8%(3年)。
意外といい線いってるんじゃないでしょうか。

表にすると↓のような感じ。横軸が騰落率、縦軸が該当する年数です。


サンプル数が、80とあまり多くない事もあり、ギザギザで、あまり美しくないグラフですね。
なので、刻みを5%から、10%刻みと変更してグラフを作ってみました。↓
ダウ年足分布10
おっ、実分布のピーク(最頻値)が若干右より(+10~+20%の範囲)にある以外は、それっぽい形になってきましたね。
ちなみに80年間で最大の下落は、世界恐慌真っ只中の1931年の-52.7%(-2.96σ)です。一方80年間で最大の上昇は、その2年後、世界恐慌からの回復の兆しが見えた1933年の+63.7%(+2.89σ)です。

もし仮に、今回の検証に当たって、NYダウのデータが1934年から2008年の75年分のデータしか得られなかったとしたら、どういった結果となったでしょうか?

世界恐慌での大変動が除かれるので、平均は+7.0%、標準偏差は17.0%となります。
グラフにすると↓
ダウ年足分布-世界恐慌を除く
おお~、実分布のピーク(最頻値)が若干右よりなのを除けば、かなり正規分布と近い形になりましたね。ちなみに、世界恐慌を除けば、もっとも大きな下落は、今年2008年の-37.7%です。

まぁしかし、世界恐慌が有ったのも事実。
月足では最大+-6σぐらいの値動きが有ったのですが、年足では世界恐慌でも+-3σ程度です。年足の標準偏差が約20%なので、-5σで元本がほぼ0となってしまうので、単純比較はできませんけど。

まとめ
NYダウの年騰落率の分布は、概ね90数%は正規分布に近い動きをする。しかし残りの数%(数十年に一回)は+-3σ程度の値動きをする事が有る。(この結論を得るには、80というサンプル数は充分ではないかもしれません)

投資の科学に載っていたSP500の日足のデータ、NYダウの月足のデータ、そして今回のNYダウの年足のデータ。に共通していたのは、ピーク(最頻値)の山は正規分布よりも大きい。普段は正規分布よりも穏やかなケースが多い。しかし時おり正規分布では有り得ないような大きな下落や上昇が有る(ファットテール)。

年足よりも月足、月足よりも日足、と対象期間が短くなるにつれてファットテールはより際立つ。
対象期間が長くなるほど、正規分布へと近づき、年足だとだいぶ正規分布っぽくなる。しかしそれでも+-3σ程度の値動きをする確率は、正規分布よりもずっと高い。

<追記>
ExcelのSTDEV関数を使って、全ての期間を通して算出した一番近い標準偏差を使っています。例えば、10年・20年前に算出した標準偏差をもとにした正規分布のグラフとは、もう少しズレるかもです。

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コメント

今回のデータは、サンプル数が少なすぎて、結論付けるには微妙だと思います。
私は「検証:過去の長期投資に複利効果はあったのか。」の記事で、1月づつずらしてサンプルを計算しましたが、
その場合は最大の下落で-71.5%(-3.52σ)、最大の上昇で129%(+6.35σ)でした。

それと、日々、月々の複利に相当すると考えると、対象期間が長くなるほど、正規分布から対数正規分布に変化していくような気もするのですが。

やすともさん
こんにちは。示唆の有るコメントありがとうございます。サンプル数の少なさは、私も気にしてました。(そのわりには、断定っぽい書き方をしてしまいましたが。。)


このシミュレートを行う前の私の予想では、左右対称ではなく端の方の触れ幅はプラスの方がマイナスよりも大きく出るんじゃないかという「やすともさんの結果」に近いものでした。

すぐにはできないかもしれませんが、また検討して記事にしてみたいと思います。
こういったコメントは大歓迎です。

簡便法としては、いい感じの結果ですね♪


ただ、個人的にはサンプル数が少ないの他に、純粋に標準偏差を足し引きするのが正当?という疑問があったりもします。
正規分布仮定だと-83.8%と+96.2%が同じ確率で発生するとのことですが、どうも後者の方が発生しやすいように思えて仕方ありません。

1年で+100%、翌年も+100%、その翌年に-75%で元本に戻る。
こんなバブル崩壊パターンもありがちなパターンに思えるのですが、この場合は+100%が2回で-75%が1回とプラスリターンの方が多くなります。それでやっと元本です。

期待リターンが12.5%の正規分布だと-75%も+100%と同じ確率ですが、それだと資産は1/4になってしまいます(T_T)
正規分布という仮定はマイナス方向に厳しすぎる気がしたり・・・

今後検証してみようかなんて考えてもいます。

ぜひ対数正規分布との比較も

こんばんは。興味深いですね。対数正規分布との比較もぜひみてみたいところではあります。

吊られた男さん
コメントありがとうございます。
そうなんですよ。
http://kabuohazimeru.blog22.fc2.com/blog-entry-440.html
↑私も以前にこちらの記事で書きましたが、期待リターンがプラスな分は置いておくとして、2倍になるのと2分の1になるのが同じ位なのでは?と思っていたのですが。月分布でも年分布でも、意外と左右対称っぽいので驚きました。ただし、最頻値が平均値よりも少しプラスよりとなっています。その分正規分布よりはプラスよりになると思いますが。
私の今回の検証が唯一の正解という事はないと思いますので、これが何かのヒントになれば幸いです。

イーノさん
初コメントありがとうございます。
月騰落率の分布は、あまり対数正規分布っぽくないと感じですが、やすともさんのデータなどからすると、年騰落率は対数分布に近いような気がしますね。私も、対数分布との比較に興味あります。

今年も

お世話になりました。来年もよろしくお願いいたします♪
今日、仕事納めです。
今日のモーサテより:今年の最高値は大発会の1月4日だったそうです。どんだけ~(ひどかったんだ)ですね。。

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ダモさん、レスが遅くなってしまい申し訳ありません。

こちらこそ昨年はお世話になりました。今年もよろしくお願いいたします。

大初会、年初からこんなに下がるのかよ!とあの時は思ったのですが。あの時が昨年の高値だったんですね。

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