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解答です。~平均リターンと複利の利回りはちょっと違う 

問題です。にたくさんの回答ありがとうございました!
その解答です。

第1問
アンケートにご協力ください
長さ40㎝のひもを4辺として、四角形を作ります。面積が最大になるのは?
縦5cm横15cmの長方形
縦7cm横13cmの長方形
縦8.5cm横12.5cmの長方形
縦9cm横11cmの長方形
縦10cm横10cmの正方形
その他


まず、吊られた男さんとtoshiさんの「ひもは1本とは書いてないので4本使う」との回答。問題作った時にこういった答えは想定していなかったので、正直「やられた~!」って感じです。そういった理由で「その他」を選ばれた方はもちろん正解で。

以下は、長さ40cmのひも1本使うという条件での解答です。
0cm<1辺の長さ<20cm (※正方形・長方形の場合)となり、1辺あたりの長さの平均は10cmです。
面積を計算すると
5×15=75
7×13=91
8.5×12.5=106.25
9×11=99
10×10=100
というわけで、正解は「縦8.5cm横12.5cmの長方形」です。

というのはひっかけで、8.5+8.5+12.5+12.5=42cmですので、40cmのひも1本からは作れません。
正解は「縦10cm横10cmの正方形」です
長さ40cmの場合に限らず、4辺の和が一定の場合面積が最大になる四角形は正方形です。これを知っていて計算せずとも正解を選ばれた方も多いんじゃないかと思います。

より数学的には、ふしみさんの回答
「相加平均≧相乗平均で等号はa=bの時なりたつから正方形が最大。」
との事。勉強になりますね~。


第2問↓※配当金・手数料・税金の事は考えない事とする。
アンケートにご協力ください
ある株の年間リターン直近3年間分を足して、3で割り平均を出したところ+7%であった。3年前に100万円投資して保有し続けていたとしたら、現在はいくらになっているか?
107万円
114万円
121万円
114万4900円
122万5043円
131万7960円
その他

平均が+7%との事で、3年連続+7%だった場合のリターンはどうなるでしょうか。+7%というのは1.07倍になるという事ですので
100万円×1.07×1.07×1.07=122万5043円となります。

+4%、+7%、+10%でも、3年間のリターンの平均は+7%になりますね。
100万円×1.04×1.07×1.10=122万4080円となります。

というわけで正解は「その他」どのようにバラついているか分からなければ、平均からだけではリターンは分からない でした。吊られた男さんの回答が模範的回答ですね。


話を単純にする為に、2年にしてみましょう。「ある株の年間リターン直近2年間の平均は+7%。2年間のリターンは?」

はい、もうお気づきの方も多いかもしれませんが、
1辺あたりの長さの平均が1.07m、すなわち4.28mのひも1本で作る四角形(長方形・正方形)の面積と一緒ですね。

2年間が+7%、+7%であれば、1.07×1.07=1.1449倍  100万円だったら、それに100万を掛けて114万4900円
 縦107px
 横107px
面積11449
 ↑これは正方形となりますので、この時が最大の面積(リターン)となります。

2年間が+4%、+10%であれば、1.04×1.10=1.144倍  100万円だったら、114万4000円となります。

 縦104px
 横110px
面積11440
 ↑パッと見は、正方形っぽく見えますよね。面積(リターン)も正方形とそれほど変わりありません。

2年間が-25%、+39%であれば、0.75×1.39=1.0425倍  100万円だったら、104万2500円となります。
 縦75px
 横139px
面積10425
 ↑ここまでくればハッキリと分かる長方形です。面積(リターン)も正方形の時よりはだいぶ小さくなります。

・平均リターンからだけでは、累計の複利リターンは分からない。
・平均が一緒であれば、複利リターンは、ちょうど平均値の数字が続く場合が最大となる。
・平均値から大きくはなれた数値(バラつきが大きくなる)ほど、↑上記よりは少ないリターンとなる。


<ここからは、Excelの関数を使ったりしていますので、苦手な人は細かい計算式は読み飛ばして結構です。>

1928年末のNYダウは300.0、1929年から2008年までの80年間のNYダウのリターン(配当金含まず)の年平均は+6.3%でした。もし仮に毎年+6.3%のリターンが80年間続いたらどうなったでしょう?

300.0×1.063の80乗 自分で計算するのは大変なのでExcelで計算すると、
=300.0*(1.063^80)=39791となります。
しかし実際の2008年末のNYダウは8776ですね。

じゃあ、80年間で300.0→8776は何%の複利利回りなのか。8876÷300.0=29.6倍 これの80乗根となります。これもExcelで計算すると、
=(8876/300.0)^(1/80)=1.043 すなわち、+4.3%の複利となります。
ただしこれには、配当金分は含まれていませんので、実際のトータルリターンはもう少し大きくなります。


モーニングスターを見てみましょう。

↓は、ニッセイTOPIXオープンのトータルリターンです。

トータルリターン
 
TOPIX
1ヶ月
3.0%
2.93%
--
--
3ヶ月
-21.0%
-20.98%
--
--
6ヶ月
-34.5%
-34.91%
--
--
1年
-40.9%
-41.77%
29%
171位
2年(年換算)
-27.6%
-28.51%
--
--
3年(年換算)
-18.5%
-19.54%
34%
197位
5年(年換算)
-2.7%
-3.81%
30%
148位
データ更新日 2008-12-31

トータルリターン四半期履歴
 
1-3月期
4-6月期
7-9月期
10-12月期
1-12月期
2008年
-17.1%
8.8%
-17.0%
-21.0%
-40.9%
2007年
2.4%
3.6%
-8.5%
-8.7%
-11.4%
2006年
5.4%
-8.0%
1.8%
4.5%
3.2%
2005年
3.3%
-0.3%
20.4%
17.1%
45.1%
2004年
13.3%
1.0%
-7.0%
4.3%
11.0%
データ更新日 2008-12-31

2年間のリターンを見てみます。2008年は-40.9%、2007年は-11.4%。単純平均なら-26.15%ですね。
複利の利回りなら、(0.886*0.591)^(1/2)=0.7236 -27.64%となります。
モーニングスターの2年(年換算)の欄を見てみると-27.6%ですので、複利の利回りになっていますね。

同様に、5年間のリターンを見てみますと、単純平均なら+1.4%
複利の利回りなら、 (1.110*1.451*1.032*0.886*0.591)^(1/5)=0.9726 -2.74%となります。
こちらもモーニングスターの5年(年換算)の欄は複利の利回りになっています。

ちなみに、ここでいう単純平均は相加平均、複利利回りが相乗平均ですね。
相加平均≧相乗平均 ですので、単純平均≧複利の利回り
ふしみさんの回答コメント見て、この言葉久々に思い出しましたけど。


まとめ
・リターンにバラつきがなく一定の場合、すなわち平均リターンがそのまま複利利回りとなる時、複利の累計リターンは最大となる。(2年なら正方形の時ですね)

・リターンにバラつきが有る場合、平均リターンと複利利回りは異なる。リターンのバラつきが大きいほど、累計する年数が多いほど、複利利回りは平均リターンよりも小さくなる。 

・よって、大きなバラつきのある株の、年平均リターンと複利の利回りは異なる。年平均リターンをそのまま掛け合わせると、実際よりも大きな数となるので注意が必要。

・モーニングスターの年換算のトータルリターンは、(過去の)複利の利回りとなっています。


長い文章を最後まで、お読みくださり、ありがとうございます。上記の拙文で、平均リターンと複利の利回りの違いはお解りいただけましたでしょうか?
難しめだったかもしれませんね。実は私も、半年前に投信リターンシミュレーション@ランダム を作った時には、平均リターンと複利の利回りの違いをきちんと理解してませんでした。。
シミュレーションをいろいろやってみると、標準偏差(バラつき)が大きいほどマイナスになる傾向が強かったので、20%の下落と20%の上昇は、一緒ではないという事にはすぐ気付きましたが。
今になって考えると、「期待リターン」の欄には、「複利の利回り」ではなく、「年リターンの単純平均(複利利回りよりは大きくなる)」を入れれば、より実際に近い数字になるかもしれませんね。EXCELとかを使って単純平均を自分で計算しないとならないのはめんどくさいですが。(そもそも株のリターンは正規分布なのか?という事はひとまず置いておくとして)

今回の記事は、「ファンドの海」で、イーノさんが年末に書かれていた一連の記事に刺激されて書きました。

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コメント

勉強になりました。
解答した後、吊られた男さんの回答を読んで、「なるほど」と思いました。(ホントですw)

最初、問題が出た時は、何をするのかと思いましたが、
なるほど、こういう証明方法もあるのですね、恐れ入りました。

材料株がメインになっている私には、大変考えさせられる課題でした!
また、利率が安定している債券は、流動性がないですし・・・
うぬぬ・・ですね。

名前が・・・

予想外に名前を取り上げていただいて恐縮な吊られた男です。

1番の問題の答えはちょっと調子に乗ってひねくれてみてしまいました。スミマセン。
1番についての証明は数学の二次間数でもいけますね。

四辺の和が40cm→縦横の辺の和が20cm。縦の長さをaとすると、面積を求める式は以下になります。
面積=a*(20-a)
  =-aa+20a
注) 0>a>20

この2次関数が最大となるのはa=10の時。(原点0とa=20の時に面積が0となる二次曲線ですので、単純にその真ん中の10が最大値)


ただ理屈を書かれるだけでなく、こういう問題として書いていただいたおかげで、頭の体操としても楽しませていただきました。

びっくり!

40年間生きてきて、はじめて知りました。長さが同じ囲みの中で、面積が変わるなんて!!どうしてだか理解不能です(@_@;)
○にしてみると、もっと面積は広くなりますね。直径が12.738・・になるので、その半分の6.369・・の二乗×3.14=127.199

皆様 コメントありがとうございます。

みきぱぱさん
(信じますw)
最近、数学の本を読んだ事もあり、ちょっと「数学の勉強」っぽくなってしまいましたが。参考になったらなら嬉しいです。

やすともさん
こんにちは。私は少し(少しだけですよw)ひねくれているので、ちょっと違うアプローチでやってみました。

雪さん
コメントありがとうございます。
安定して、高利率のものが有ればいいんですけどね~。
でもだからこそ「安定して高利率を謳っているもの」は注意して見ないといけないなと。

吊られた男さん
証明、なるほどです。またまた勉強になりました。こういった問題形式にして、それに皆さんが回答してくれたことで、記事にふくらみが出たんじゃないかと思います。

ダモさん
そうなんですよ!1本のひもでできる図形で最も面積が広いのが○です。

じゃあ「○に一番近い四角形は?」
と言ったら、台形や細長い長方形ではないですよね。

興味深いです

こんばんは。「やや、面白いことが書いてある!」と思って読み始めたら、最後に僕の記事が関連で書いてあってうれしいやら驚くやら。でも、こういうのって面白いですよね。
これって連続複利の考え方に似てますね。僕もいま、連続複利とか引き続き勉強中です!

イーノ・ジュンイチさん
コメントありがとうございます。レスが遅くなってすみません。
「連続複利」ですか。初耳です。記事、今後も楽しみにしています。

投票の結果を見ると、単純平均と複利利回りの違いが混同してしまっている人も多かった(私も以前混同してましたが)ようですので、記事にして良かったです。

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